República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria.
Instituto Universitario Tecnológico ¨Alonso Gamero¨.
Matemáticas.
UNIDAD I. CONJUNTO NUMÉRICOS.
Ingeniero, Ildemaro Vargas.
Estudiante, Andrea Virginia Mora Ocando. V28092122.
Sección 05.
Santa Ana de Coro, marzo de 2021.
INTRODUCCIÓN.
Números naturales [N].
El conjunto de los números naturales es el formado por los elementos positivos (0, 1, 2, 3...) que utilizamos para contar objetos y se denota con la letra N, es decir: [N = (0, 1, 2, 3 ...)]. Los puntos suspensivos indican que la numeración continúa indefinidamente, pudiéndose además representar en la forma gráfica sobre la recta numérica. Una recta numérica se divide en tantos segmentos como números se quiera representar, todos de la misma longitud y separados por la misma distancia, las rectas numéricas se identifican con una letra mayúscula.
Ecuaciones.
Lenguaje algebraico: Escribir expresiones matemáticas, dichas en lenguaje coloquial forma abreviada mediante la utilización de símbolos y signos. Ecuación: Una igualdad que contienen una o más incógnitas y que se verifica sólo para determinados valores de las incógnitas o variables que en ella intervienen. Igualdad: Son dos expresiones algebraicas que tienen el mismo valor numérico y que separamos por el símbolo (=) que se denomina igual. Toda ecuación proviene de la necesidad de resolver un problema; es decir, las ecuaciones se utilizan como mecanismo para obtener una solución a ciertas situaciones reales que requieren el uso de la igualdad. Expresiones: El precio del arroz se duplicó: [2x]. La mitad de los alumnos: [x ÷ 2]. Un número más el doble es 36 [x + 2x = 36].
Caso 1: La incógnita es un sumando. A la suma le restamos el otro u otros sumandos. [(x + 5 + 2 = 15) (x = 15 – 5 – 2) (x = 8)]
Caso 2: La incógnita es el minuendo de una resta. A la diferencia se le suma el sustraendo. [(x – 8 = 2) (x = 2 + 8) (x = 10)]
Caso 3: La incógnita es el sustraendo de una resta. Al minuendo le restamos la diferencia. [(10 – x = 6) (x = 10 – 6) (x = 4)]
Caso 4: La incógnita es un factor. El producto lo dividimos entre el otro factor. [(3x = 15) (x = 15 ÷ 3) (x = 5)]
Caso 5: La incógnita es el dividendo de una división. El divisor se multiplica por el cociente. [(x = 7 • 6) (x = 42)]
Caso 6: La incógnita es el divisor de una división. El dividendo se divide entre el cociente. [(x = 12/4) (x = 3)]
Números Enteros [Z].
Números que se encuentran a la izquierda del cero son llamados números negativos. El conjunto de los números naturales y el conjunto de los números negativos más el cero (0) constituyen el conjunto de los números reales. El conjunto de los números enteros es el formado por los elementos (… – 3 – 2 – 1, 0, 1, 2, 3 ...) representados por la letra Z, es decir: [Z = (… – 3 – 2 – 1, 0, 1, 2, 3 ...)]. El conjunto de los números enteros está formado por subconjuntos: El conjunto de los enteros positivos, representado por Z (1, 2, 3, 4, 5...). El conjunto representado por el elemento cero (0). El conjunto de los enteros negativos, representado por Z (... – 3, – 2, – 1)
Representación gráfica en la recta numérica. Dibujamos una recta y sobre ella ubicamos el cero en el centro de la recta. Ubicamos los números naturales o números enteros positivos Z (1, 2, 3, 4, 5...) a la derecha del cero. Ubicamos los números enteros negativos a la izquierda del cero Z (… – 5, – 4, – 3, – 2, – 1)
Relación de orden. Recuerda que al comparar dos números naturales a y b hay tres posibilidades: [a > b (a es mayor que b)]; [a < b (a es menor que b)]; [a = b (a es igual a b)]. Por lo tanto, podemos afirmar que: Todos los enteros positivos son mayores que cero, todos los enteros negativos son menores que cero, todo número entero a que esté ubicado en la recta numérica a la izquierda de un número b será menor que éste [a < b].
Mínimo Común Múltiplo.
El mínimo común múltiplo de dos o más números es el múltiplo más pequeño que esos números tienen en común. El mínimo común múltiplo se suele expresar con las siglas m.c.m. (a, b), siendo a y b los números. En matemáticas, el mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el menor múltiplo común de todos ellos. Este concepto ha estado ligado históricamente con números naturales, pero se puede usar para enteros negativos o Número complejo.
¿Cómo se calcula el mínimo común múltiplo, m.c.m?
Vamos a aprenderlo con un ejemplo, calculamos el mínimo común múltiplo de 180 y 324.
m.c.m. (180,324)
1. Para calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números, empezamos por descomponer esos números en factores primos. 
2. El mínimo común múltiplo se obtiene eligiendo todos los factores (comunes y no comunes), elevados a la máxima potencia. Seleccionamos todos los factores, pero los que se repitan los cogemos elevados a la máxima potencia.
[m.c.m. (180, 324)] = [22 • 5 • 34] El 2 aparece como factor primo en ambas descomposiciones, en ambos casos está elevado a 2. El 5 sólo aparece en la descomposición de 180, pero tenemos que elegir todos. El 3 aparece como factor en ambas descomposiciones, pero cogemos el denominador más elevado.
3. Hacemos la multiplicación y obtenemos el mínimo común múltiplo.
m.c.m. (180,324)= 22x5x34= 1620
Máximo Común Divisor.
El máximo común divisor de dos o más números es el número más grande por el que se pueden dividir dichos números. El máximo común divisor se suele expresar con las siglas M.C.D. (a,b), siendo a y b los números. En las matemáticas, se define el máximo común divisor de dos o más números enteros al mayor número entero que los divide sin dejar residuo alguno.
¿Cómo se calcula el máximo común divisor (M.C.D)?
Vamos a aprenderlo con un ejemplo, calculamos el máximo común divisor de 180 y 324.
M.C.D. (180,324)
1. Para calcular el máximo común divisor de dos o más números, empezamos por descomponer esos números en factores primos.
2. El máximo común divisor se obtiene cogiendo solo los factores primos comunes a los números que hemos descompuesto, elevados al menor exponente. Es decir cogemos solo los factores comunes y los que se repitan los cogemos elevados a la mínima potencia. [M.C.D. (180, 324)] = [22 • 32] El 2 aparece como factor primo en ambas descomposiciones, en ambos casos está elevado a 2. El 3 aparece también como factor común pero en este caso cogemos elevado a la mínima potencia. El 5 no le cogemos porque no es un factor común.
3. Hacemos la multiplicación y obtenemos el máximo común divisor [M.C.D. (180,324)] [22 • 32= 36].
EJEMPLO. Calculamos el mcm y el MCD de 96, 240 y 180
1. Descomponemos
2. Escogemos los factores
m.c.m. [(180,96, 240) = 25x5x32]. El 2 aparece como factor primo en ambas descomposiciones, el mayor exponente es 5. El 5 aparece en la descomposición de 180, y 240 pero tenemos que coger todos. El 3 aparece como factor en ambas descomposiciones, pero cogemos el denominador más elevado.
M.C.D. [(180,96, 240) = 22x3] El 2 aparece como factor primo en las 3 descomposiciones, el menor exponente es 2. El 3 aparece también como factor común pero en este caso cogemos elevado a la mínima potencia. El 5 no le cogemos porque no es un factor común.
3. Calculamos
m.c.m. (180,96, 240)= 25x5x32=1440
M.C.D. (180,96, 240)= 22x3= 12
CONJUNTO DE NÚMEROS REALES [R].
EXPRESIONES DECIMALES. NÚMERO RACIONAL.
Al estudiar el conjunto de los números racionales se observó que a todo número racional le corresponde una expresión decimal limitada (finita), o una expresión decimal periódica ilimitada (infinita).
La expresión decimal es finita cuando el denominador del número racional es una potencia de 2, de 5, o de ambos. Si el denominador del número racional tiene algún factor diferente de 2 y de 5, entonces resulta una expresión decimal periódica ilimitada. Se comprobó que dada una expresión decimal finita o periódica ilimitada, siempre existe un número racional al cual le corresponde esta expresión decimal; este número racional recibe el nombre de fracción generatriz de la expresión decimal correspondiente. Todo número racional da origen a una expresión decimal finita o a una expresión decimal ilimitada corresponde a un número racional.
NÚMEROS IRRACIONALES.
Un número irracional es una expresión decimal no periódica compuesta de infinitas cifras. El conjunto formado por todos los números irracionales será denotado por 1.
En geometría se ha trabajado frecuentemente con el número [π = 3,141592 … ] que es la medida de la longitud de una circunferencia cuando se toma como unidad un diámetro de la misma. El número π (pi) ¹ tiene una expresión decimal infinita que no es periódica. Este es un número irracional. El número π es conocido desde la antigüedad (desde hace cerca 4000 años). La letra griega π, equivalente a la ¨p¨ de nuestro alfabeto, proviene de la palabra periferia, en alusión al perímetro o longitud de la circunferencia. El empleo del símbolo π se hizo universal desde que, en 1737, el matemático suizo Leonard Euler lo adoptó sistemáticamente.
En matemática, a nivel superior, es muy importante el número irracional que se designa con la letra e (Número de Euler) ², cuya expresión decimal es la siguiente: [e = 2,718281828...]. No se píense que la repetición de las cifrar 1828 indica periodicidad, pues en ese caso E no sería irracional, y se podría determinar su fracción generatriz. Las cifras decimales siguientes son 4590... y se interrumpe la aparente periodicidad. El número E aparece de manera natural en fenómenos como crecimiento de poblaciones, desintegración radioactiva, cálculo de intereses, entre otros, en los cuales el crecimiento (o decrecimiento) de una magnitud, en un instante es proporcional al valor de la magnitud en dicho instante.
Consideremos el número [1,101001000100001l ... ] Observe cómo se construye este número: En las cifras decimales se va aumentando el número de ceros que aparecen entre dos unos, es decir, entre los dos primeros unos hay un cero, entre el segundo y el tercero hay dos ceros, entre el tercero y el cuarto hay tres ceros, y así sucesivamente. Por consiguiente, este número, conocido como Número de Liouville³, tiene una expresión decimal infinita que no es periódica; el número de Liouville también es un número irracional. J. Liouville, matemático francés del siglo XIX que trabajó con números irracionales y trascendentes.
CONJUNTO R: NÚMEROS REALES.
Si bien para los problemas prácticos de mediaciones los números racionales resultan suficientes, hay problemas importantes que no tienen solución en el conjunto Q. Recuérdese que una de las causas que motivaron las ampliaciones sucesivas de los conjuntos numéricos, fue la necesidad de resolver ecuaciones algebraicas. Así, en el conjunto de los números naturales, una ecuación como [x + 2 = 1] no tiene solución, ya que no existe ningún número natural que sumado con 2 dé 1. Esto sucede porque en el conjunto de los números naturales no siempre es posible sustraer un número de otro; la diferencia de dos números naturales es un número natural si y sólo si el minuendo es mayor o igual que el sustraendo.
Cuando se introduce el conjunto de los números enteros se resuelve este problema, ya que la diferencia de dos números enteros siempre es un número entero, y las ecuaciones del tipo [a + x = b] con a, b Є Z, admiten la solución [x = b – a].
Cuando se desea resolver una ecuación del tipo [a • x = b] con a, b Є Z, a ≠ 0, el conjunto Z resulta insuficiente, porque el cociente entre dos números enteros [(b / a), con a ≠ 0] es un número entero sólo cuando el dividendo es múltiplo del divisor. Así, por ejemplo, [3x = 1] no tiene solución en Z, pues no existe ningún número entero que multiplicado por 3 de 1. Este problema se resuelve cuando se traba en el conjunto Q de los números racionales, ya que todo número racional diferente de cero tiene un simétrico multiplicativo o inverso. Basta multiplicar los dos miembros de la ecuación [3x = 1] por el inverso de 3 y se tiene: [(1/3) • (3x) = (1/3) • 1] [x = (1/3)].
Hay ecuaciones que no tienen solución en el conjunto de los números racionales. Por ejemplo, vamos a demostrar que la ecuación: [x² = 2] no tiene solución en Q. Si x es un número racional, entonces podemos escribir [x = (p/q)] donde p y q son dos números enteros primos entre sí, con [q ≠ 0]. Además, [q ≠ 1] y [q ≠ (– 1)] ya que 2 no es un cuadrado perfecto. Si o y q son primos entre sí, entonces (p • p) y (q • q) no tienen factores primos comunes, esto es, p² y q ² también son primos entre sí; por consiguiente, la fracción [p² / q²].es irreducible y, en consecuencia, no puede ser igual a 2.
UBICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES EN LA RECTA NUMÉRICA.
La recta numérica no se ¨completaba¨ con los números racionales, nos referíamos a este hecho, es decir, a que existen puntos de la misma a los cuales les corresponden números irracionales. El conjunto formado por la unión de los números racionales y números irracionales es el conjunto de los números reales, el cual usualmente se denota por R, y simbólicamente se puede escribir: [R = Q U I]. Como todo número irracional viene definido por una expresión decimal infinita no periódica, un número que no puede ser racional e irracional simultáneamente; luego, los conjuntos Q e I son disjuntos, es decir, no tienen elementos comunes. Simbólicamente se escribe [Q ∩ I = Ø].
Se puede demostrar que el conjunto de los números reales ¨ocupa toda¨ la recta numérica; más precisamente, se puede definir una función biyectiva del conjunto de los números reales sobre el conjunto de los puntos de una recta de manera que a cada número real le corresponda un punto de la recta, y a cada punto de la recta le corresponda un número real; por esto, a la recta numérica se le llama recta real. Esta función biyectiva define un sistema de coordenadas en la recta real.
Si al punto P de la recta le corresponde el número real x, se dice que x es la abscisa del punto P y se escribe [P (x)]. Se dice que el punto correspondiente al 0 es el punto de origen del sistema de coordenadas, y usualmente, se denota por la letra O. Un número real es positivo si le corresponde un punto en la recta real a la derecha del origen. Un número real es negativo si le corresponde un punto en la recta real a la izquierda del origen.
Dado que, según sabemos, [N c Z c Q] y como Q es un subconjunto de R podemos escribir [N c Z c Q c R]. Igual que se hizo con el conjunto de los números racionales, es útil adoptar una notación que identifique algunos de los subconjuntos del conjunto de los números reales con los cuales se trabaja frecuentemente; así:
R⁺ denota el conjunto formado por todos los números reales positivos. R⁻ denota el conjunto formado por todos los números reales negativos. R* denota el conjunto formado por todos los números reales diferentes de cero.
Simbólicamente se puede escribir [R* = R⁺ U R⁻] y [R = R⁺ U (0) U R⁻]
ADICIÓN DE NÚMEROS REALES.
Como el conjunto Q es un subconjunto del conjunto R, la adición de números reales es una generalización de la adición de números racionales y, por consiguiente, debe cumplir las mismas propiedades que cumple en el conjunto Q. La adición de dos números reales se indica con el signo ¨+¨, como en los conjuntos numéricos estudiados anteriormente. Los números reales con los cuales se opera se denominan sumandos y el resultado de la operación se denomina suma.
Cuando se tiene la suma indicada de un número racional más un número irracional, por ejemplo, [1 + √2] o la suma de dos números irracionales, como [π + √3]. El signo ¨+¨ no necesariamente indica la necesidad de realizar una operación aritmética. [1 + 2] es un símbolo que representa un número real, lo mismo que [π + 3]. Si deseamos calcular las sumas, tenemos que trabajar con aproximaciones racionales y, por tanto, sólo podemos obtener aproximaciones con un cierto grado de precisión. Así: [1 + √2 = 1 + 1,414214 = 2,414214] [π + √3 = 3,141593 + 1, 732051 = 4,873644].
PROPIEDADES DE LA SUMA DE NÚMEROS REALES.
Asociativa. Dados tres números reales cualesquiera x, y, z se tiene [(x + y) + z = x + (y + z)], es decir, la forma de agrupar los sumandos no cambia el resultado de la operación. Se escribe: [x + y + z] por esto se dice que la adición de números reales cumple con la propiedad asociativa. En general, si se tienen más de dos sumandos y se pueden realizar varias agrupaciones de los mismos, siempre se obtiene igual resultado.
Conmutativa. Dado dos números reales cualesquiera x, y, se tiene [x + y = y + x], es decir, el orden de colocación de los sumandos no altera la suma. Por esto se dice que la adición de números reales cumple con la propiedad conmutativa. Cuando se tiene la adición de varios números, entre los cuales aparecen racionales e irracionales, el empleo de las propiedades asociativa y conmutativa permite frecuentemente simplificar los cálculos.
Existencia de elemento neutro. Si x es un número real, al sumarle el cero se obtiene el mismo número x. Por esto se dice que el cero es el elemento neutro para la adición de números reales, esto es... Para todo número real x se tiene ([x + 0) = (0 + x) = x].,
Existencia de elemento simétrico. Si x es un número real, al sumarle (– x) se obtiene el cero. Por esto se dice que todo número real tiene un simétrico aditivo en R. El simétrico, recibe el nombre de opuesto. El opuesto de un número real es otro número real con el mismo valor absoluto, pero con diferente signo. Entonces: Para todo número real x se tiene [x + (– x) = (– x) + x = 0].
EJEMPLO DE LAS PROPIEDADES DE LA SUMA DE NÚMEROS REALES.
Asociativa.
(a) [(1 + √3) + π = 1 + (√3 + π)] = [1 + √3 + π]
(b) [√2 + √3 + √5 + √6] = [(√2 + √3 + √5) + √6] = [(√2 + √3) + (√5 + √6)] = [√2 + (√3 + √5 + √6)]
Conmutativa.
(a) [π + √5 = √5 + π]
(b) [3 + √7 = √7 + 3]
(c) [(2/3) + √3 + 5 + (– 4) + √2 + (7/3)] = [5 + (– 4)] + [2/3 + 7/3] + √3 + √2 = [1 + (9/3) + √3 + √2] = [1 + 3 + √3 + √2] = [4 + √3 + √2].
Existencia de elemento neutro.
(a) [√7 + 0 = 0 + √7] = [√7]
Existencia de elemento simétrico.
(a) [√2 + (– √2) = (– √2) + √2 = 0]
(b) [π + (– π)] = [(– π) + π] = 0.
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS REALES.
Sustraer o restar a un número real x otro número real y significa sumar a x el opuesto de y. Esto es, si x, y son dos números reales tenemos: [x – y = x + (– y)]. Se dice que x es el minuendo, y es el sustraendo de la operación, al resultado se le llama diferencia.
Observe que en la práctica lo que se hace es sumar los dos números con el signo del sustraendo cambiado. La suma de un número racional más un número irracional siempre es un número irracional.
EJEMPLOS.
(a) [(1/2) – π] = [(1/2) + π]
(b) [– (2/3)] – (– √2) = [– (2/3)] + (– √2)
(c) [π – (– 4)] = π + 4
(d) [– (1/5)] – √3 = [– (1/5)] + (–√3)
EJERCICIO. Demostrar que el número [x = 1 + √5] es irracional. Para probar esto, vamos a usar un método de demostración conocido como ¨reducción al absurdo¨, el cual consiste en lo siguiente: se supone que la propiedad que se va a demostrar es falsa. Si a partir de esta suposición se llega, mediante un razonamiento lógico a un resultado contradictorio, se concluye que la propiedad es verdadera. Supongamos que el número dado es racional, si x fuese racional, entonces también lo sería [x – 1 = √5] porque la diferencia de dos números racionales es un número racional. Pero esto no es posible ya que 5 no es un cuadrado perfecto. Como la contradicción proviene de haber supuesto que x es racional, se concluye que [1 + √5] es irracional.
DISTANCIA ENTRE NÚMEROS REALES.
El concepto de sustracción permite definir la distancia entre dos números reales o, equivalentemente, entre dos puntos de la recta real. Si P(x) y Q(y) son dos puntos de la precta real, la distancia entre P y Q, que se denota por d (P, Q), se define como el valor absoluto de la diferencia entre abscisas de P y de Q; esto es: [d (P, Q) = |x – y|].
De acuerdo con la definición de valor absoluto, observe que la distancia entre dos números reales x, y [o entre los puntos P (x) y Q (y) de la recta] es un número real no negativo, y en la representación gráfica corresponde a la longitud del segmento PQ. Por consiguiente, la distancia entre x y es igual a cero si y sólo si x es igual a y, o sea, si y sólo si P y Q coinciden.
EJEMPLOS.
(a) Dado los puntos P(1) y Q(√2), tenemos: d(P, Q) = [|1 – √2|] = [√2 – 1]
(b) Dados los puntos P (2/3) y Q [– (1/2)], tenemos: d (P, Q) = |(2/3) – – (1/2)| = |(2/3) + (1/2)| = (4 + 3 / 6) = (7/6).
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES.
En el conjunto de los números reales, la operación de multiplicación se indica con el signo ¨•¨, igual que en los conjuntos numéricos estudiados anteriormente. Los números reales con los cuales se opera se denominan factores y el resultado de la operación se llama producto.
El producto de dos números reales es otro número real, cuyo signo es ¨+¨ o ¨–¨ según que los factores tengan el mismo o diferente signo. Cuando no hay lugar a confusión, se acostumbra omitir el punto que indica la operación. Por ejemplo, en lugar de escribir [2 • √3] usualmente se escribe [2√3].
Al escribir números como 2√3, e √5, (1/2) π, no necesariamente hay que realizar operaciones aritméticas. Las expresiones decimales de estos números son infinitas no periódicas, por lo cual, si deseamos calcular los productos, tenemos que trabajar con aproximaciones racionales y, en consecuencia, sólo podemos obtener resultados con un cierto grado de precisión. Así: [2√3 = 2 • 1,732051] [e√5 = 2,718282 • 2,236068] [(1/2) π = 0,5 • 3,141592] y se calculan los resultados con la exactitud que necesitemos.
La multiplicación de números reales es una generalización de la multiplicación definida en el conjunto de los números racionales. Por consiguiente, la multiplicación en el conjunto R se define de manera que satisfaga las mismas propiedades que satisface en el conjunto Q.
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES.
Asociativa. Dados tres números reales cualesquiera x, y, z se tiene [(xy)z = x(yz)], es decir, la forma de agrupar los factores no cambia el resultado de la operación. Se escribe simplemente: [xyz]. Por esto se dice que la multiplicación de números reales cumple con la propiedad asociativa. En general, si se tienen más de dos factores y se pueden realizar varias agrupaciones de los mismos, siempre se obtiene igual resultado.
Conmutativa. Dados dos números reales cualesquiera x y, se tiene [xy = yx], es decir, el orden de colocación de los factores no altera el producto; por esto se dice que la multiplicación de números reales cumple con la propiedad conmutativa.
*Cuando se tiene la multiplicación de varios números, entre los cuales aparecen racionales e irracionales, el empleo de las propiedades asociativas y conmutativas permite frecuentemente simplificar los cálculos.
Existencia de elemento neutro. En general, si x es un número real, al multiplicarlo por 1 se obtiene el mismo número x. Por esto se dice que el 1 es el elemento neutro para la multiplicación de números reales, esto es: Para todo número real x se tiene [x • 1 = 1 • x = x]
Existencia de elemento simétrico. Si x es un número real diferente de cero, existe otro número real, denotado por (1/x), tal que al multiplicarlo por x se obtiene como resultado el 1. Por esto se dice que todo número real diferente de cero tiene un simétrico multiplicativo en
EJEMPLOS DE LAS PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES.
Asociativa.
Conmutativa.
Existencia de elemento neutro.
Existencia de elemento simétrico.
…. 
Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición.
DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES.
Dados dos números reales x y, con y ≠ 0 llamados dividendo y divisor, respectivamente, se denomina cociente de x entre y, al número real z tal que x = yz. El cociente de x entre y se escribe x ÷ y, o bien (x/y).
EJEMPLO. [(√2/2) = (1/2) • √2] ya que [2 • (1/2) • √2 = (2 • 1/2) √2] = [1 • √2] = √2
En la definición se ha establecido que el divisor es diferente de cero: por consiguiente, su inverso está definido. Entonces, el cociente se obtiene multiplicando el dividendo por el inversor del divisor, o sea: [(x/y) = z ➞ x • (1/y)].
Si se tienen dos números irracionales de la forma √x y √y, donde x y son números enteros, si √y no es el opuesto de √x, entonces √x + √y es irracional.
VALOR ABSOLUTO.
NÚMERO REAL Y VALOR ABSOLUTO.
El valor absoluto de un número entero corresponde a la distancia que existe entre el origen 0 y el número dado en la recta numérica. Matemáticamente se expresa: Si a Є Z, entonces: [|a| = a] si [a > 0]; [|a| = 0] si [a = 0]; [|– a| = a] si [a < 0].
A todo número real le corresponde un punto en la recta numérica o recta real, y recíprocamente, a cada punto de la recta le corresponde un número real, que es la abscisa de dicho punto. Aquellos puntos que están situados a la derecha del origen de coordenadas corresponden a los números reales positivos, mientras que los puntos situados a la izquierda del origen de coordenadas corresponden los números reales negativos.
Para representar el punto correspondiente al número irracional (– √2) le asignamos el punto simétrico, con respecto al origen del punto correspondiente a √2; por consiguiente, la distancia que hay entre el punto correspondiente a √2 y el punto correspondiente al cero es igual a la distancia que hay entre el punto correspondiente a (– √2) y el punto correspondiente al celo. A esta distancia se le llama Valor Absoluto o Módulo del Número √2 (y también del número – √2). La función real del valor absoluto se define sobre el conjunto de todos los números reales asignando a cada número real su respectivo valor absoluto. que se expresa: siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.
Observe que la definición de módulo o valor absoluto de un número real es la misma que se introdujo en el conjunto de los números enteros y en el conjunto de los números racionales. Esto es natural ya que los números racionales (y en consecuencia los números enteros) son números reales; por tanto, los conceptos que se definen en el conjunto Q y las propiedades que de allí se satisfacen, deben mantenerse en el conjunto R.
Si x es un número real positivo se escribe: [|x| = x] (se lee módulo de x igual x) [|x| = x] (se lee módulo de menos x igual x). [|√5| = √5] [|– √5| = √5], [|π| = π] [|– π| = π]
ECUACIÓN Y VALOR ABSOLUTO.
Debemos recordar que... |x| = 0, si x = 0. |x| = x, si x > 0. |x| = (– x), si x < 0. El valor absoluto de un número real es igual a 0 sólo si el número es igual a 0, es decir, si tenemos la ecuación [|a| = 0] en la cual a es un número real, podemos concluir que [a = 0]. De igual forma, si se tiene [|2y| = 0] en la cual ¨y¨ es un número real, se debe cumplir que [2y = 0] y por tanto [y = 0]. Dada la ecuación [|x – 8| = 0] se tiene que [x – 8 = 0] de donde su única solución es x = 8.
Se presentan dos casos: Primero, si [a > 0], entonces [|a| = a], y al sustituir este valor en la ecuación, resulta [a = 2]. Si [a < 0], entonces [|a| = (– a)], y al sustituir este valor en la ecuación, se obtiene [(– a) = 2] de donde [a = (– 2)]. Las dos soluciones, se denotan por [a₁ = 2] y [a₂ = (– 2)].
Por otra parte, el valor absoluto de un número real diferente de 0 siempre es un número real positivo y si se tiene la ecuación [|a| = 2] se presentan dos casos:
(1) Si a > 0, entonces |a| = a, y al sustituir este valor en la ecuación (1), resulta [a = 2].
(2) Si a < 0, entonces |a| = (– a), y al sustituir este valor en la ecuación (1), se obtiene [(– a) = 2] de donde [a = (– 2)]. Las dos soluciones obtenidas, se denotan por [a₁ = 2] y [a₂ = (– 2)].
INTERVALOS.
Nombre del intervalo | Notación conjuntista | Notación de intervalos | Representación gráfica |
Abierto | {x / a < x < b} | (a, b) |
|
Semicerrado a derecha | {x / a < x £ b} | (a, b] |
|
Semicerrado a izquierda | { x / a £ x < b} | [a, b) |
|
Cerrado | { x / a £ x £ b} | [a, b] |
|
Infinito abierto a izquierda | { x / x > a} | (a, +¥ ) |
|
Infinito cerrado a izquierda | { x / x ³ a} | [a, +¥ ) |
|
Infinito abierto a derecha | { x / x < b} | (-¥ , b) |
|
Infinito cerrado a derecha | { x / x £ b} | (-¥ , b] |
|
Infinito | R | (-¥ , +¥ ) |
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CONCEPTO DE INTERVALOS.
Un subconjunto de la recta real se llama intervalo, y contiene a todos los números reales que están comprendidos entre dos cualesquiera de sus elementos. Geométricamente los intervalos corresponden a segmentos de recta, semirrectas o la misma recta real.
Los intervalos de números correspondientes a segmentos de recta son intervalos finitos, los intervalos correspondientes a semirrectas y a la recta real son intervalos infinitos. Los intervalos finitos pueden ser cerrados, abiertos o semiabiertos.
CLASIFICACIÓN DE INTERVALOS.
Sean a y b dos números reales tales que a < b.
Intervalo cerrado. Conjunto de números reales formado por a, b y todos los comprendidos entre ambos.
[a, b] = { x / a £ x £ b}
Intervalo abierto. Conjunto de los números reales comprendidos entre a y b.
(a, b) = {x / a < x < b}
Intervalo semiabierto a izquierda (o semicerrado a derecha). Conjunto de números reales formado por b y los números comprendidos entre a y b.
(a, b] = {x / a < x £ b}
Intervalo semiabierto a derecha (o semicerrado a izquierda). Conjunto de números reales formado por a y los números comprendidos entre a y b.
[a, b) = { x / a £ x < b}
Intervalos infinitos.
[a, +¥) = { x / x ³ a} (a, +¥) = { x / x > a}
(-¥ , b] = { x / x £ b} (-¥ , b) = { x / x < b}
(-¥ , +¥ ) = R
EJEMPLO DE INTERVALOS.
Interprete gráficamente los intervalos: a) [-2, 3] b) (1, 4) c) (0, 5] d) [1, +¥ ) e) (-¥ , 3)
a) El intervalo [-2, 3] comprende todos los números reales entre -2 y 3. Como es cerrado incluye los extremos. Su representación gráfica es:
b) El intervalo (1, 4) corresponde a todos los números reales entre 1 y 4. Es abierto pues no incluye a los extremos. Gráficamente:
c) El intervalo (0, 5] comprende todos los números reales entre 0 y 5 incluyendo el extremo 5. Se trata de un intervalo semiabierto a izquierda o bien semicerrado a derecha. Su gráfica es:
d) El intervalo [1, +¥ ) es infinito y comprende todos los números reales mayores o iguales a 1. Gráficamente:
e) El intervalo (-¥, 3) es infinito y comprende todos los números reales menores que 3. Su gráfica es:
CONJUNTO DE NÚMEROS RACIONALES O FRACCIONES [Q].
INTRODUCCIÓN A LAS FRACCIONES.
Consideremos la recta numérica en la que representamos los números enteros. Ubiquemos en ella el punto medio entre los puntos 0 y 1 y lo representamos con la letra P. ¿Se puede representar el punto P con un número entero? Supongamos que utilizamos la letra k para representar la distancia entre el 0 y el punto P. Por ser P el punto medio entre 0 y 1, también k representará la distancia entre el punto medio P y el 1. Entonces, indica que: [k + k = 1] lo que significa que [2 • k = 1]. No existe ningún número entero que satisfaga la igualdad [2 • k = 1], debido a que l despejar k de la ecuación, el resultado es (1/2) y este número no es un entero. Esto significa que dentro del conjunto de números enteros no es posible establecer un número que represente al punto O, o la distancia que hay entre el origen y el punto P. Entonces, para designar un valor numérico al punto P hay que dividir la distancia que existe entre el origen (cero) y el punto 1 en dos. Así, tendríamos que cada parte es (1/2), pero como podemos observar (1/2) no pertenece a los números enteros Z, lo que hace necesario ampliar nuestro campo numérico. Tenemos que definir otro conjunto de números, distinto de los naturales (N) y distinto de los números enteros (Z), para poder trabajar con ejercicios prácticos y frecuentes, como dividir un espacio en dos, dividir una manzana en 2, en 3 o en 4 partes, entre otros. Este nuevo conjunto formado por fracciones de números enteros, por ejemplo, 1/2, 1/4, 2/5, 2/6, 3/2, 3/4, entre otros, lo denominaremos conjunto de los números racionales y lo representaremos con la letra Q.
CONCEPTO DE FRACCIONES.
Una fracción está compuesta por dos elementos: El denominador indica en cuántas partes iguales se ha dividido la unidad principal, y el numerador que indica cuántas de esas partes se toman. El conjunto de las fracciones o de los números racionales se representa con la letra Q y está formado por los elementos de la forma a/b, donde a Є z y b Є Z*.
Una utilidad que tienen las fracciones es la expresión de las divisiones inexactas, ya que en la mayoría de los casos no existe ningún número entero que multiplicado por el divisor de como resultado el dividiendo, por ejemplo, al dividir 5 entre 7 encontramos que el número no es exacto cual convertido en expresión de fracción se considera que 5 es el numerador dividendo y 7 es el denominador divisor.
La expresión decimal de una fracción es el número que se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador de la fracción. La expresión decimal de un número consta de dos partes: una parte entera que corresponde al número que se encuentra antes de la coma, y una parte decimal que se encuentra después de la coma. En el número 2, 33; el número 2 es la parte entera y el 33 es la parte decimal.
Ubicación en la recta numérica. Calculamos el número decimal de una fracción, hallamos el cociente decimal para establecer el intervalo de ubicación y mediante el método geométrico de división de un segmento determinamos con exactitud su ubicación.
EJERCICIOS.
(a) [3 • t] = 1➞ t = (1/3)
(b) [2t] = [2 • (1/3)] = [(2/3)]
(c) [3t] = [3 • (1/3)] = [(3/3)] ➞ [3t = 1].
CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES.
Fracciones equivalentes. Si multiplicamos el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y da el mismo resultado o productos que si multiplicamos el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda es una fracción equivalente. Sean a/b, c/d Є Q, entonces a/b = c/d si a • d = b • c.
Fracciones propias. El numerador es menor que el denominador. En términos matemáticos a < b y b ≠ 0, entonces a/b es una fracción propia.
Fracciones impropias. El numerador es mayor que el denominador. En términos matemáticos, si a > b y b ≠ 0 entonces a/b es una fracción impropia.
Fracción decimal. a/b es decimal si b=10ⁿ, n Є N y n ≥ 1, por ejemplo, 7/10² = 7/100.
Fracción entera. a/b es entera si a ¨es múltiplo de¨ b y b ≠ 0, por ejemplo, -6/3.
Fracciones mixtas. La forma a • b/c, donde a es un número natural y b/c es una fracción impropia.
Fracción nula. a/b es nula si a = 0 y b ≠ 0, por ejemplo, 0/– 7.
Fracción unidad. a/b es unidad si a = b y b ≠ 0, por ejemplo, 4/4.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES.
Si el numerador y el denominador de una fracción tienen divisores comunes, podemos dividir ambos términos por el mismo divisor y obtener una fracción equivalente. Por ejemplo, (48/36) = [(48 ÷ 2) / (36 ÷ 2)] = (24/18) ➞ (48/36) = (24/18) ➞ (24/18) = [(24 ÷ 3) / (18 ÷ 3)] = (8/6) ➞ (8/6) = [(8 ÷ 2) / (6 ÷ 2)] = (4/3).
Otra forma de simplificar las fracciones es calculando el Máximo Común Divisor de los números, y posteriormente dividir el numerador y el denominador entre el M.C.D. obtenido. Por ejemplo, [48 = 2⁴ • 3] [36 = 2² • 3²]. M.C.D. [(48, 36) = 2² • 3] = (4 • 3) = 12. Entonces, (48/36) = [(48 ÷ 12) / (36 ÷ 12)] = (4/3).
FRACCIÓN GENERATRIZ.
Para hallar la fracción generatriz de una expresión decimal finita se escribe como numerador la expresión decimal, prescindiendo de la coma como denominador el 1 seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal, y de ser posible, se simplifica la fracción que resulta.
Para hallar la fracción generatriz de una expresión decimal periódica pura se escribe como numerador el período, y como denominador un número formado por tantos nueves como cifras tenga el período; de ser posible, se simplifica la fracción que resulta. Si la parte entera es diferente de cero, ésta debe sumarse a la fracción obtenida.
Para hallar la fracción generatriz de una expresión decimal periódica mixta, basta calcular la fracción generatriz de la expresión decimal periódica pura que resulta al colocar la coma decimal inmediatamente antes del período, y agregar el denominador tantos ceros como lugares se haya corrido la coma decimal.
ADICIÓN DE FRACCIONES.
Adición de fracciones con igual denominador. Otro número racional cuyo denominador es la suma de los numeradores y el denominador es el mismo de las fracciones que se suman. En términos matemáticos: sean a/b y c/b Є Q con b ≠ 0, entonces a/b + c/b = (a + c) / b. Como son dos fracciones de igual denominador, el resultado será otra fracción cuyo numerador se obtienen sumando los numeradores, simplificamos la fracción.
[3 • (4/5)] + [2 • (11/5)]. Para sumar dos fracciones mixtas, debemos transformarlas en fracciones impropias, es decir, que tengan el numerador mayor que el denominador. Para transformar una fracción mixta en una impropia, multiplicamos el número entero por el denominador y le sumamos el numerador. Esta cantidad corresponderá al número de la fracción impropia y el denominador será el mismo de la fracción mixta. Continuemos: [3 • (4/5)] + [2 • (11/5)] ➞ [(3 • 5 + 4) / (5)] + [(2 • 5 + 11) / (5)] ➞ [(19/5) + (21/5)]. Cuando tenemos la operación expresada como una adición de fracciones impropias resolvemos: [(19/5) + (21/5)] ➞ [(19 + 21) / 5] ➞ [40/5] ➞ 8.
Adición de fracciones con diferente denominador. La adición de dos números racionales de diferente denominador a/b y c/d es otro número racional representado. En términos matemáticos: Sean a/b y c/d, donde b, d ≠ 0 entonces (a • d + c • b) / b • d.
(a) [(1/5) + (3/7)] ➞ (1/5) = [(1 • 7) / (5 • 7)] = (7 / 35) | (3/7) = [(3 • 5) / (7 • 5)] = (15/35). A continuación, sumamos las fracciones equivalentes obtenidas, es decir: [(7/35) + (15/35)] = [(7 + 15) / (35)] = (22/35)
(b) [(1/2) + (– 5/4)] En este caso, sólo es necesario amplificar la fracción (1/2) ya que 2 está contenido en 4, es decir, dos es divisor de 4. Por tanto, [1/2 = (1 • 2) / (2 • 2) = 2/4] ➞ [(2/4) + (– 5/4)] ➞ [2 + (– 5)] / [4] ➞ [(– 3) / 4] lo que significa que [(1/2) + (– 5/4)] = [(– 3) / 4].
Adición de fracciones con más de tres diferentes denominadores. En el caso, [(3/18) + (3/5) + (1/2)] Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores y éste es el denominador de la suma. Debemos encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores para dividirlo por cada denominador cual resultado es multiplicado por cada numerador correspondiente a cada fracción que serán sumados para obtener nuestro numerador. Simplificamos la fracción.
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE FRACCIONES.
Las propiedades de la adición en Q son los atributos o cualidades esenciales de la adición de los números racionales. Los números racionales tienen las mismas propiedades que los números enteros.
Asociativa. Permite agrupar números en forma conveniente, con el fin de simplificar la operación. En términos matemáticos: Sean a/b, c/d y e/f ЄQ donde b, d, f ≠ 0, entonces, a/b + c/d + e/f = (a/b + c/d) + e/f = a/b + /c/d+ e/f).
Clausura. La suma de números racionales es otro número racional.
Conmutativa. Establece que el orden de los sumandos no altera el resultado o suma. En términos matemáticos, sean a/b y c/d Є Q, donde b, d ≠ 0 entonces a/b + c/d = c/d + a/b.
Elemento neutro. El número cero que, adicionando con cualquier sumando, da como resultado o suma el mismo sumando. En términos matemáticos, sea a/b Є Q donde b ≠ 0, entonces a/b + 0 = a/b.
Elemento simétrico u opuesto. Si ambos se encuentra n a la misma distancia del origen de la recta numérica (uno a la derecha y otro a la izquierda). En términos matemáticos, sea a/b Є Q, donde b≠0, existe un (– a) / b Є Q, tal que a / b + (– a) / b = 0.
SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES.
Al igual que en los números naturales y números enteros, es posible realizar sustracciones con números racionales. La sustracción de números racionales es la operación que asocia un par de números racionales a/b y c/d donde b y d ≠ 0, donde a/b es el minuendo y c/d es el sustraendo, con otro número racional e/f que llamaremos diferencia. En términos matemáticos, sean a/b, c/d, e/f Є Q, entonces a/b – c/d = e/f.
Sustracción de fracciones con igual denominador. Otro número racional que tiene el mismo denominador y como numerador la diferencia de los numeradores. En términos matemáticos: Sean a/b y c/b Є Q son b ≠ 0, [(a / b) – (c / b)] = [(a – c) / b]
Sustracción de fracciones con diferente denominador. a/b y c/d Є Q, donde b, d ≠ 0 es otro racional representado por [(a / b) – (c / d)] = [(<a • d> – <c • b>) / (b • d)]. La sustracción de dos racionales la podemos expresar como la adición de dos números racionales, donde al sustraendo se le cambia el signo, y se resuelve de la misma forma que la adición de números racionales. Si la adición resultante tiene diferente denominador, entonces calculamos el mínimo común múltiplo.
Sustracción de fracciones de diferente denominador con tres partes. Aplicamos la propiedad asociativa, ya que dos sumandos poseen igual denominador.
Orden en Q según la sustracción.
a/m > b/n si a/m – b/n > 0 y m, n ≠ 0.
a/m < b/n si a/m – b/n < 0 y m, n ≠ 0.
a/m = b/n si a/m – b/n = 0 y m, n ≠ 0.
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES.
La multiplicación de números racionales es la operación que asocia a dos o más números racionales que llamaremos factores con otro número racional que llamaremos producto o resultado. En términos matemáticos: sean a/b, c/d, e/f Є Q donde b, d, f, ≠ 0 entonces: [a/b • c/d] son factores = [e / f] es el producto.
Para multiplicar un número entero por un número racional, se multiplica el entero por el numerador del número racional y se mantiene el mismo denominador. En términos matemáticos: Si a/b Є Q, donde b ≠ 0 y m Є Z, entonces m • (a / b) = (m • a) / b.
El producto de dos números racionales es otro número racional cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. Sea a/b, c/d Є Q donde b ≠ 0 y d ≠ 0 ➡ [(a / b) • (c / d)] = [(a • c) / (b • d)].
Producto de un número entero por un número racional. Cuando realizamos esta operación debemos prestar atención a la notación de la operación, para evitar confundirla con una fracción mixta.
En el ejemplo (A), se está efectuando el producto del entero 5 por el número racional –2/3. Cuando expresamos esta operación siempre utilizaremos el signo (•). En el ejemplo (B) se presenta una fracción mixta, donde el entero 5 se suma al número racional –2/3.
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES.
Propiedades de la multiplicación en Q. Son los atributos o cualidades de la multiplicación de los números racionales.
Asociativa. Permite agrupar números en forma conveniente, con el fin de simplificar la operación. En términos matemáticos: sean a/b, c/d y e/f Є Q donde b, d, f ≠ 0, entonces: a/b • c/d • e/f = [(a / b) • (c / d)] • e/f = a/b • [(c / d) • (e / f)]
Clausura. El producto de varios números racionales es otro número racional.
Conmutativa. Establece que el orden de los factores no altera el resultado o producto. En términos matemáticos: sean a/b y c/d dos números racionales, donde b ≠ 0 y d ≠ 0, entonces a/b • c/d = c/d • a/b.
Distributiva respecto a la adición. Permite separar términos de un tipo de estructura particular de la forma a/b • [(c / d) + (e / f)] en otra estructura de la forma [(a / b) • (c / d)] + [(a / b) • (e / f)], donde a/b, c/d, e/f Є Q y b, d, f ≠ 0. a/b • [(c / d) + (e / f)] = [(a / b) • (c / d)] + [(a / b) • (e / f)]
Elemento absorbente. a/m • 0 = 0.
Elemento inverso u opuesto. Para todo número racional a/b diferente de cero, existe en Q un número racional, llamado inverso multiplicativo de a/b y denotado b/a, tal que el producto de ambos números es la unidad. En términos matemáticos: sean a/b y b/a Є a Q, donde a, b ≠ 0, entonces [(a / b) • (b / a)] = 1.
Elemento neutro. Es el número uno, el cual multiplicado con cualquier factor da como resultado o producto el mismo factor. En términos matemáticos, sea a Є Q entonces [(a / b) • 1] = (a / b).
DIVISIÓN DE FRACCIONES.
La división de dos números racionales a/b y c/d donde b ≠ 0 y d ≠ 0 es la operación que consiste en separar y distribuir a/b en partes iguales, representadas dichas partes por c/d, obteniendo como resultado otro número racional e/f llamado cociente. En términos matemáticos: Sean a/b y c/d Є Q, entonces [(a/b) ÷ (c/d)] = [(a • d) / (b • c)] = (e / f).
BIBLIOGRAFÍA.
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